Aqui llego la primera!
Hola profe soy Maximo Leon de la seccion dos de primer año y le queria hacer la siguiente pregunta....o demostracion mejor dicho......yo tengo una idea de como hacerla pero no se si estoy en lo correcto.. bueno la idea es demostrar:
(1) Para todo X, Y, Z en R+ se cumple que:
"X2+Y2+Z2 es mayor o igual que XY + YZ + XZ"
(2) También que "(X+Y)(Y+Z)(X+Z) es mayor o igual que 8XYZ"
Eso no mas... gracias por su tiempo...
Estimado Máximo: No puedo decirte si la idea que tienes es o no correcta, puesto que no das ninguna idea en tu mensaje. Te doy entonces algunas ideas que puedes organizar para realizar una demostración. Espero que me envies las demostraciones completas (por email o simplemente, en papel). Aqui van las ideas:
(1) Se sabe que 2XY < X2+Y2 ; 2XZ < X2+Z2 ; 2YZ < Y2+Z2
Suma todos los lados izquierdos, y todos los lados derechos.
(2) 2XY < X2+Y2 ==> 2XYZ < X2Z+Y2Z, y otras dos desigualdades intercambiando los roles de X, Y y Z. Multiplica
Es todo. Hasta la próxima. El profe.
Y la segunda pregunta
Hola profe , le escribo para que me ayude con
esta demostracion
espero que pueda ayudarme.
se pide demostrar
x3 + y3 + z3 >= 3xyz
mi idea es partir de (x-y)2 > 0
x2 + y2 > 2xy luego sumo xy
x2 + y2 + xy > 3xy despues multiplico por (x+y)
(x2 +y2 +xy) (x+y) > 3 ( x2 y + xy2
) ahora reemplazo el lado izquierdo
[de aqui en adelante, no te sigo las ideas ...
(el profe)]
x3 + y3 >
%
Hice lo mismo para (x+z)2 y (y+z) 2
pero no se cómo seguir. Gracias por su tiempo. Julio Castellón
La respuesta (que me soplo uno de tus companeros).
Si lees el enunciado completo, en el apunte (pag 29, n 6(a) ) dice que
uses
x3 + y3 =(x+y)(x2-xy+y2)
(factorizacion conocida de la diferencia de cubos, pues x3 +
y3 = x3 - (-y)3 ).
Entonces, como ademas
(x+y)xy <= x3 + y3
(x+z)xz <= x3 + z3
(z+y)zy <= z3 + y3
Sumas las tres desigualdades y factorizas por los terminos del lado izquierdo que no quedan elevados al cuadrado: