P ==> Q ??

[el contenido de esta pagina es fruto de mis discusiones con Roberto Araya]

La implicación lógica tiene sus origenes en nuestra inteligencia social, en nuestra capacidad de comportarnos de acuerdo a normas y reglas. Estas reglas son del tipo:

Bajo tal condición, debe ocurrir tal otra cosa
Si se cumplio tal requisito, entonces es aceptado que suceda tal cosa
Algunos ejemplos:
Si pague por el pan entonces lo puedo llevar a casa
Si tengo mi entrada entonces puedo entrar al cine
Si corto el pasto entonces puedo ir a la fiesta esta noche

Estas reglas y muchas otras que abundan en nuestra vida son las que nos permiten obtener ciertos beneficios a condición de haber pagado el costo.
Si costo=pagado Entonces beneficio=obtenido
¿Cuando sentimos que nos pasan a llevar? ¿que nuestros derechos no son respetados? Cuando alguna de estas reglas no se respeta. En nuestro caso, una regla deja de respetarse cuando habiendo pagado el costo ("me saque la m... cortando el pasto") se nos niega el beneficio ("no puedo ir a la fiesta").

En forma simbólica, la regla Si P Entonces Q o mas simbolico aún,

P ==> Q

no se cumple si siendo P Verdadero, resulta que Q es Falso. Por lo tanto, del punto de vista del cumplimiento de la regla, cuando P es falso nos da igual. La regla no puede ser quebrantada.

Un ejemplo que ilustra la capacidad de nuestra inteligencia social, capaz de detectar el cumplimiento de reglas y por lo tanto a la base del entendimiento de la implicación es el test de Wason. En este test lógico, se le muestran cuatro cartas a los individuos, que en su cara descubierta muestran respectivamente:

A B 7 3

Cada carta tiene un número por un lado y una letra por el otro.
La pregunta es: ¿Cuales cartas es estrictamente necesario
voltear para verificar la siguiente regla?

Regla: SI A está en un lado ENTONCES 7 está en el otro lado.

Este test es realmente muy difícil: menos del 25% de los Estudiantes de la prestigiosa Universidad de Harvard responden correctamente, y, en general, menos del uno por mil de la población en general acierta. Sin embargo, los psicólogos y antropólogos Leda Cosmides y John Tooby, descubrieron que la cosa cambia radicalmente si el test se reformula en un marco social tal como el siguiente. Hay cuatro individuos en una discoteque, uno de 30 años, otro de 15, otro que está bebiendo alcohol y un cuarto que bebe coca-cola. Es decir, gráficamente, tenemos cuatro tarjetas:

30 15 Alcohol Coca Cola

La misión ahora es verificar que se cumpla la siguiente regla:

Regla: SI alguien es menor de edad ENTONCES no debe beber alcohol.

Ante esta nueva pregunta, más del 75% de la gente acierta, y sin embargo, curiosamente, desde el punto de vista lógico-matemático, ambos problemas son absolutamente equivalentes. Es decir, hay algo en la contextualización social escogida que convierte un problema difícil en uno fácil. ¿Qué será? La implicación es una habilidad de nuestra inteligencia social, que si se transporta al terreno de la lógica formal puede perder su componente intuitiva. En ese caso, el razonamiento debe ser hecho en forma deliberada y consciente, lo cual es mas dificil. Para mucha gente, el razonamiento abstracto, razonamiento privado de un contexto familiar y cotidiano, es antinatural y por consiguiente, incomprensible. Es en ello donde reside la potencia del razonamiento analitico, aquel que solo responde a la fuerza de la argumentación lógica y no la evidencia a veces ilusoria de nuestro sentidos e intuiciones.

Cosmides y Tooby también intentaron con otras situaciones contextualizadas, y, si bien las respuestas mejoraban, nunca llegaban a un porcentaje de aciertos tan alto como cuando eran contextualizadas en un marco de intercambio social. Es decir, el razonamiento no es independiente del contexto. Muy por el contrario. Pero atención, no sólo el razonamiento depende del contexto sino que hay contextos claramente más significativos que otros. Tal es el caso del contexto social. La evidencia es abrumadora, tenemos cableados algoritmos especializados y muy efectivos para el intercambio social.

Un poco de lógica formal, solo para voluntarios

Finalmente, demos una respuesta general al problema. Dijimos que la regla se viola solo en caso de ser P Verdadera y Q Falsa, es decir, la regla falla si (P y ~Q). Asi entonces, cuales son las tarjetas que deben ser volteadas? Aquellas que afirmen P (pues si del otro lado se afirma ~Q la regla falla) y aquella que afirman ~Q (pues si del otro lado se afirma P, la regla falla).
Es decir, voltear las cartas que afirmen P y las que afirmen ~Q.
Con lo anterior, la regla se cumple, o dicho de otro modo, la implicacion es verdadera si no es verdad que (P y ~Q), o sea, si ~(P y ~Q) que segun sabemos es equivalente a (~P o Q). Lo que para terminar, nos da la temida equivalencia
[P ==> Q] equivalente a [~P v Q]

Tarea: La regla siguiente es cierta
Si llueve entonces uso paraguas
Según esto, cuando algun dia me vean usando paraguas, sera una conclusión logica de la regla anterior que:

a)Llueve
b)No llueve
c)No se sabe si llueve o no.