Elementos de trigonometria [Version preliminar]
Las funciones trigonometricas pueden ser definidas como las componentes de un punto sobre el circulo de radio unitario, centrado en el origen (que llamaremos, circulo trigonometrico). Si el punto P(x) es el que se obtiene luego de recorrer una distancia x a partir del punto (1,0) para llegar hasta el, sus coordenadas  seran llamadas  cos(x) y sin(x). En la figura esto se ve mas claramente:

Es necesario ademas distinguir entre distancias recorridas en sentido positivo y negativo, que corresponden a iniciar el recorrido, partiendo de (1,0) avanzando inicialmente hacia arriba o hacia abajo.
Identidades trigonometricas
La primera relación, es consecuencia de que el punto P(x) se encuentre sobre el circulo trigonométrico. La llamaremos identidad Pitagórica:
(P)    cos2 x + sin2 x = 1
Nota: El cuadrado del número real cos x se indica como cos2 x, para evitar la ambigüedad que surge de poder interpretar cos x2 como (cos x)2 o como cos(x2). De esta manera cos x2 se debe interpretar siempre como el coseno de x2.
La segunda relacion corresponde a la definicion de la función tangente, a partir de las funciones seno y coseno:
(T)    tan x  = sin x / cos x
Consideraremos conocidos los siguientes valores para las funciones anteriores. Sus valores pueden obtenerse de razonamientos geométricos simples (combinando semejanza de triangulos y teorema de Pitágoras).

Nota: Hemos definido 3 funciones, sin-cos-tan, pero utilizando las dos relaciones anteriores vemos que basicamente una de ellas determina a las otras dos (excepto posiblemente por un problema de signo). Por ejemplo

| sin x | = sqrt( 1 - cos2 x )
| cos x | = sqrt( 1 - sin2 x )
| cos x | = 1 / sqrt( 1 + tan2 x )
| tan x | = sqrt( 1 - cos2 x ) / | cos x | ,   etc...
[Demostrar la igualdad de los cuadrados de cada miembro en las identidades previas]

Tabla de valores básicos para las funciones trigonométricas

x = ángulo en radianes
sin(x)
cos(x)
tan(x)
0
0
1
0
Pi/6
1/2
sqrt(3)/2
sqrt(3)/3
Pi/4
sqrt(2)/2
sqrt(2)/2
1
Pi/3
sqrt(3)/2
1/2
sqrt(3)
Pi/2
1
0
??? 
       

En esta pagina, Pi representa a la famosa constante, y sqrt(x) es la raiz cuadrada de x (square root of x). Esta misma notación se sigue utilizando en lo que sigue.

Usaremos la notación dist(A,B) para indicar la distancia entre A=(A1,A2) y B=(B1,B2). Para evitar las raices cuadradas, se trabajará como de costumbre con el cuadrado de la distancia:

dist(A,B)2= (B1-A1)2 + (B2-A2)2

Supondremos que rotar el circulo trigonométrico no cambia la distancia entre sus puntos. Los puntos P(a) y P(b) están a la misma distancia que P(a+x) y P(b+x), en particular, para x= -b se concluye:

Teorema : cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

Esta fórmula contiene una tremenda cantidad de información. Como ejercicio se propone proporcionar todos los detalles de las deducciones para las fórmulas que se indican a continuación.

Formulas para ángulos complementarios [usar en el Teorema, b = +/- Pi/2]

cos( a-Pi/2 )= sin( a )

cos( a+Pi/2 )= -sin( a )

sin( a-Pi/2 )= -cos( a )

sin( a+Pi/2 )= cos( a )

Paridad: La función coseno es par, y la función seno es impar. [ Usar a = 0 en el Teorema, para obtener la paridad de coseno. Para seno, usar que sin(-a) = sin (-a - Pi/2 + Pi/2)] La función tangente es impar.

Formulas para ángulos suplementarios [usar en formulas previas que Pi = Pi/2 + Pi/2 ]

cos(a+Pi) = cos(a-Pi) = -cos(a)

sin(a+Pi) = sin(a-Pi) = -sin(a)

tan(a+Pi) = tan(a-Pi) = tan(a)

Periodicidad [ usar en formulas previas que 2Pi = Pi + Pi ]

cos(a+2Pi) = cos(a)

sin(a+2Pi) = sin(a)

Fórmulas para las funciones de la suma de ángulos. [Para coseno, usar que a - b = a + (-b), y para seno, usar las formulas de ángulos complementarios y así pasar de seno a coseno.]

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin( a + b) = sin a cos b + cos a sin b

tan( a + b) = ( tan a + tan b )/( 1 - tan a tan b) [ Dividir las dos expresiones anteriores]

Para las funciones de diferencia de ángulos, usar que a - b = a + (-b), y aprovechar las paridades de cada función. Escribamos el resultado:

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b (esta fórmula se repite aquí solo para tenerlas todas juntas)

sin( a - b) = sin a cos b - cos a sin b

tan( a - b) = ( tan a - tan b )/( 1 + tan a tan b)

Fórmulas del ángulo doble y el ángulo medio.

sin (2a) = 2 sin a cos a

cos (2a) = cos2 a - sin2 a

Esta última fórmula, si se combina con la identidad Pitagórica, entrega dos variantes

cos(2 a) = 2 cos2 a - 1

cos(2 a) = 1 - 2 sin2 a

Reemplazando a por (a/2) en cada fórmula, se obtienen las siguientes identidades "del ángulo medio":

|cos (a/2)| = sqrt( (1 + cos a) / 2 )

|sin (a/2)| = sqrt( (1 - cos a) / 2 )

|tan (a/2)| = sqrt((1 - cos a) / (1 + cos a) )

Factorizaciones de sumas de senos y/o cosenos. [sumar cos(a+b) con cos(a-b), y luego poner x=a+b, y=a-b de donde se puede despejar a=(x+y)/2, b=(x-y)/2]

cos(x)+cos(y) = 2 cos( (x+y)/2 ) cos( (x-y)/2 )

Por razonamientos similares, o usando las formulas para ángulos complementarios se pueden obtener factorizaciones análogas:

cos(x)-cos(y) = -2 sin( (x+y)/2 ) sin( (x-y)/2 )

sin(x)+sin(y) = 2 sin( (x+y)/2 ) cos( (x-y)/2 )

sin(x)-sin(y) = 2 cos( (x+y)/2 ) sin( (x-y)/2 )