(P) cos2 x + sin2 x = 1Nota: El cuadrado del número real cos x se indica como cos2 x, para evitar la ambigüedad que surge de poder interpretar cos x2 como (cos x)2 o como cos(x2). De esta manera cos x2 se debe interpretar siempre como el coseno de x2.
(T) tan x = sin x / cos xConsideraremos conocidos los siguientes valores para las funciones anteriores. Sus valores pueden obtenerse de razonamientos geométricos simples (combinando semejanza de triangulos y teorema de Pitágoras).
Nota: Hemos definido 3 funciones, sin-cos-tan, pero utilizando las dos relaciones anteriores vemos que basicamente una de ellas determina a las otras dos (excepto posiblemente por un problema de signo). Por ejemplo
| sin x | = sqrt( 1 - cos2 x )[Demostrar la igualdad de los cuadrados de cada miembro en las identidades previas]
| cos x | = sqrt( 1 - sin2 x )
| cos x | = 1 / sqrt( 1 + tan2 x )
| tan x | = sqrt( 1 - cos2 x ) / | cos x | , etc...
Tabla de valores básicos para las funciones trigonométricas
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En esta pagina, Pi representa a la famosa constante, y sqrt(x) es la raiz cuadrada de x (square root of x). Esta misma notación se sigue utilizando en lo que sigue.
Usaremos la notación dist(A,B) para indicar la distancia entre A=(A1,A2) y B=(B1,B2). Para evitar las raices cuadradas, se trabajará como de costumbre con el cuadrado de la distancia:
dist(A,B)2= (B1-A1)2 + (B2-A2)2
Supondremos que rotar el circulo trigonométrico no cambia la distancia entre sus puntos. Los puntos P(a) y P(b) están a la misma distancia que P(a+x) y P(b+x), en particular, para x= -b se concluye:
Teorema : cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
Esta fórmula contiene una tremenda cantidad de información. Como ejercicio se propone proporcionar todos los detalles de las deducciones para las fórmulas que se indican a continuación.
Formulas para ángulos complementarios [usar en el Teorema, b = +/- Pi/2]
cos( a-Pi/2 )= sin( a )
cos( a+Pi/2 )= -sin( a )
sin( a-Pi/2 )= -cos( a )
sin( a+Pi/2 )= cos( a )
Paridad: La función coseno es par, y la función seno es impar. [ Usar a = 0 en el Teorema, para obtener la paridad de coseno. Para seno, usar que sin(-a) = sin (-a - Pi/2 + Pi/2)] La función tangente es impar.
Formulas para ángulos suplementarios [usar en formulas previas que Pi = Pi/2 + Pi/2 ]
cos(a+Pi) = cos(a-Pi) = -cos(a)
sin(a+Pi) = sin(a-Pi) = -sin(a)
tan(a+Pi) = tan(a-Pi) = tan(a)
Periodicidad [ usar en formulas previas que 2Pi = Pi + Pi ]
cos(a+2Pi) = cos(a)
sin(a+2Pi) = sin(a)
Fórmulas para las funciones de la suma de ángulos. [Para coseno, usar que a - b = a + (-b), y para seno, usar las formulas de ángulos complementarios y así pasar de seno a coseno.]
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin( a + b) = sin a cos b + cos a sin b
tan( a + b) = ( tan a + tan b )/( 1 - tan a tan b) [ Dividir las dos expresiones anteriores]
Para las funciones de diferencia de ángulos, usar que a - b = a + (-b), y aprovechar las paridades de cada función. Escribamos el resultado:
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b (esta fórmula se repite aquí solo para tenerlas todas juntas)
sin( a - b) = sin a cos b - cos a sin b
tan( a - b) = ( tan a - tan b )/( 1 + tan a tan b)
Fórmulas del ángulo doble y el ángulo medio.
sin (2a) = 2 sin a cos a
cos (2a) = cos2 a - sin2 a
Esta última fórmula, si se combina con la identidad Pitagórica, entrega dos variantes
cos(2 a) = 2 cos2 a - 1
cos(2 a) = 1 - 2 sin2 a
Reemplazando a por (a/2) en cada fórmula, se obtienen las siguientes identidades "del ángulo medio":
|cos (a/2)| = sqrt( (1 + cos a) / 2 )
|sin (a/2)| = sqrt( (1 - cos a) / 2 )
|tan (a/2)| = sqrt((1 - cos a) / (1 + cos a) )
Factorizaciones de sumas de senos y/o cosenos. [sumar cos(a+b) con cos(a-b), y luego poner x=a+b, y=a-b de donde se puede despejar a=(x+y)/2, b=(x-y)/2]
cos(x)+cos(y) = 2 cos( (x+y)/2 ) cos( (x-y)/2 )
Por razonamientos similares, o usando las formulas para ángulos complementarios se pueden obtener factorizaciones análogas:
cos(x)-cos(y) = -2 sin( (x+y)/2 ) sin( (x-y)/2 )
sin(x)+sin(y) = 2 sin( (x+y)/2 ) cos( (x-y)/2 )
sin(x)-sin(y) = 2 cos( (x+y)/2 ) sin( (x-y)/2 )